自然数の足し算

前の記事で$0$と$S$を使って自然数を定義したので，さらに足し算を定義する．

$n$と$m$を自然数とするとき，$m+n$を次で定義する．

$$m+n=\left\{ \begin{array}{ll} n & \left(m = 0\right)\\ S\left(m'+n\right) & \left(m = S\left(m'\right)\right) \end{array} \right.$$

$1+1=2$の証明

$1+1$を計算する．上の定義より $1+1=S(0)+S(0)=S(0+S(0))=S(S(0))=2$．