三角関数のn乗の積分の変形

定積分の次の変形を説明する．

$$T_n=\int_{-\infty}^\infty \left(\frac{t^2}{n}+1\right)^{-\frac{n+1}{2}}dt =2\sqrt{n}\int_{0}^\frac{\pi}{2} \cos^{n-1}\theta d\theta$$

$n\ge 1$なので$t=\sqrt{n}\tan\theta$とおくと

• $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}$は$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$になる．
• $\displaystyle dt=\frac{\sqrt{n}d\theta}{\cos^2\theta}$，
• $\displaystyle \frac{t^2}{n}+1=\tan^2\theta+1=\frac{1}{\cos^2\theta}$．
• $\displaystyle -\frac{2}{\pi}<\theta<\frac{2}{\pi}$において $0<\cos\theta$なので $\displaystyle \left(\frac{1}{\cos^2\theta}\right)^{-\frac{n+1}{2}} =\cos^{n+1}\theta$.

以上より $\displaystyle T_n = \int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\cos^{n-1}\theta\sqrt{n}d\theta.$

さらに被積分が偶関数なので $T_n = 2\sqrt{n}\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^{n-1}\theta d\theta$ となる．