スターリングの公式の使用例

次の極限を求めよう．

$$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}$$

スターリングの公式より

$$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} =\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\sqrt{2\pi}\left(\frac{n+1}{2}\right)^{\frac{n+1}{2}-\frac{1}{2}}e^{-\frac{n+1}{2}}} {\sqrt{\pi n} \sqrt{2\pi}\left(\frac{n}{2}\right)^{\frac{n}{2}-\frac{1}{2}}e^{-\frac{n}{2}} } =\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}e^{\frac{1}{2}}}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\frac{n}{2}} =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$$