Γ関数の性質

$\Gamma$関数を以下で定義する

$$\Gamma\left(x\right)= \int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}dt.$$

次の公式を形式的に示す．

$$\Gamma\left(x+1\right)=x\Gamma\left(x\right)$$

証明

$$\Gamma\left(x+1\right)= \int_0^\infty e^{-t}t^{x}dt =\left[-e^{-t}t^{x}\right]_0^\infty - \int_0^\infty -e^{-t}xt^{x-1}dt =x\Gamma\left(x\right)$$