Γ関数の公式

$\Gamma$関数の定義

$$\Gamma\left(x\right)= \int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}dt$$

において$t=r^2$とおいてみよう．

• $dt=2r dr$，
• $\int_0^\infty$は$\int_0^\infty$のまま

より

$$\Gamma\left(x\right)= \int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}dt = 2\int_0^\infty e^{-r^2}r^{2x-1}dr$$

となる．

使用例

$$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) =\int_{-\infty}^\infty e^{-r^2}dr$$