sinのテイラー展開

$\sin x$のテイラー展開を求めよう．

$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$であり $\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$である．

$f\left(x\right)=\sin x$とおくと $f\left(0\right)=0,f'\left(0\right)=1, f''\left(0\right)=0,f'''\left(0\right)=-1,\dots$が得られる．

$\sin x$のテイラー展開は以下のように求まる．

$$\sin x = x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\cdots = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^n}{\left(2n+1\right)!}x^{2n+1}$$