平均値の定理

$f\left(x\right)$を微分可能な関数とする．$a<b$とする． このとき$a<c<b$と$f'\left(c\right)= \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$を満たす$c$が存在する．

証明

$\phi\left(x\right)=f\left(x\right)-\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}x$ とおくと，$\phi\left(x\right)$は微分可能である．

また$\phi\left(b\right)-\phi\left(a\right)= f\left(b\right)-f\left(a\right)-\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a} \left(b-a\right)=0$ なので$\phi\left(b\right)=\phi\left(a\right)$である．

ここで$a<c<b$かつ$\phi'\left(c\right)=0$を満たす$c$が存在する．

この$c$は $\phi'\left(c\right)=f'\left(c\right)-\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a} =0$ を満たす．