極限

$t>0$として次の数列の極限を求めよう．

$$a_n = \left(1+\frac{t}{n}\right)^n\rightarrow e^t$$

2項定理より次のように展開する

$$a_n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}t^k.$$

ここで$k$を固定した時の極限

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\binom{n}{k}= \frac{1}{k!}$$

を用いて，

$$\lim_{n\rightarrow \infty} \left(1+\frac{t}{n}\right)^n=\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}t^k =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}t^k=e^t$$

を得る．