群の定義

$G$を集合とし，演算$G\times G\rightarrow G$が定まっているとする． $G$が群であるとは次の3つを満たすことをいう

• 全ての$a,b,c\in G$に対して$\left(ab\right)c=a\left(bc\right)$
• $e\in G$があって全ての$g\in G$に対して$ge=eg=g$
• 全ての$g\in G$に対して$g^{-1}\in G$があって$gg^{-1}=g^{-1}g=e$

$ge=eg=g$と$gg^{-1}=g^{-1}g=e$について

群の定義で使った これらの式を，それぞれ$eg=g$と$g^{-1}g=e$としてもよい．

$ge=g$を示す． $g^{-1}ge=ee=e=g^{-1}g$に左から$g^{-1}$の逆元$g^{-1-1}$をかけると $g^{-1-1}g^{-1}ge=g^{-1-1}g^{-1}g$. この左辺は$ge$で右辺は$g$なので$ge=g$が示された．

(続く)