積分（円）

定積分$\displaystyle I=\int_0^1 \sqrt{1-x^2}dx$を求めよう．

$x=\sin\theta$とおくと

• $dx$は$dx=\cos\theta d\theta$
• $\theta$の範囲は$0$から$\frac{\pi}{2}$

なので以下の通り求まる

$$I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-\sin^2\theta}\cos\theta d\theta =\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2\theta d\theta =\left[\frac{1}{2}\theta+\frac{1}{4}\sin 2\theta\right]_0^{\frac{\pi}{2}}= \frac{\pi}{4} .$$