χ2乗分布

自由度$n$のχ2乗分布の密度関数を以下に示す

$$f_n\left(x\right) = k_nx^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}.$$

ここで，$k_n$は$\displaystyle \int_{\mathbb R}f_n\left(x\right)dx =1$になるように定める．

$k_n$を求めてみよう． $\displaystyle 2t = x$とおくと

• $2dt=dx$，
• $\int_{\mathbb R}$は$\int_{\mathbb R}$のまま

なので，

$$\int_{\mathbb R} f_n\left(x\right) = k_n \int_{\mathbb R} \left(2t\right)^{\frac{n}{2}-1} e^{-t} 2dt = k_n 2^{\frac{n}{2}}\int_{\mathbb R} t^{\frac{n}{2}-1}e^{-t}dt =k_n2^{\frac{n}{2}}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right).$$ $$k_n = \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}$$

と求まる．