一様分布の2乗

確率変数$X$は一様分布$U\left(0,1\right)$に従うとする． $X^2$の従う分布を求めよう．

$X^2$の累積分布関数を$F\left(x\right)$とおくと， 以下の通り求まる．

$$F\left(a\right)=P\left( X^2\le a\right) =P\left(X\le \sqrt{a}\right)=\sqrt{a}$$

ここから密度関数$f\left(x\right)$を求めると以下のようになる．

$$f\left(x\right)=\frac{dF\left(x\right)}{dx} =\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

上記の$F$と$f$の定義域は$0$と$1$の間である．