標準正規分布の2乗

確率変数$X$は標準正規分布$N\left(0,1\right)$に従うとする． $X^2$の従う分布を求めよう．

$X^2$の累積分布関数を$F\left(x\right)$とおくと， 以下の通り求まる．

$$F\left(a\right)=P\left( X^2\le a\right) =P\left(-\sqrt{a}\le X\le \sqrt{a}\right)= 2\int_0^{\sqrt{a}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx$$

ここから密度関数$f\left(x\right)$を求めると以下のようになる．

$$f\left(x\right)=F'\left(x\right) =2\frac{d\sqrt{x}}{dx}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\sqrt{x}^2}{2}} =\frac{1}{\sqrt{2\pi x}}e^{-\frac{x}{2}}$$