積分

$0$以上の整数$n$に対して定積分 $\displaystyle I_n = \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^n\theta d\theta$ を求めてみよう．

部分積分の公式等より$n\ge 2$のとき

$$\begin{eqnarray*} I_n &=& -\left[ \cos\theta\sin^{n-1}\theta \right]_0^\frac{\pi}{2} +\int_0^\frac{\pi}{2}\left(n-1\right)\cos^2\theta\sin^{n-2}\theta d\theta\\ &=& \left(n-1\right)\left( I_{n-2} - I_n\right). \end{eqnarray*}$$

これを整理すると

$$I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}$$

(続く)

応用

$n\ge 1$として定積分 $\displaystyle T_n=\int_{-\infty}^\infty \left(\frac{t^2}{n}+1\right)^{-\frac{n+1}{2}}dt$ を求めてみよう．

$t=\sqrt{n}\tan\theta$とおくと

$$T_n = 2\sqrt{n}\int_{0}^\frac{\pi}{2} \cos^{n-1}\theta d\theta =2\sqrt{n}I_{n-1}$$