積分

$0$以上の整数$n$に対して定積分 $\displaystyle I_n = \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^n\theta d\theta$ とおく．つぎの等式を示す．

$$I_n=\left\{ \begin{array}{ll}\displaystyle \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}\frac{n-5}{n-4}\cdots \frac{5}{6}\frac{3}{4}\frac{1}{2} \frac{\pi}{2} & \left(n:偶数\right) \\\displaystyle \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}\frac{n-5}{n-4}\cdots \frac{6}{7}\frac{4}{5}\frac{2}{3} & \left(n:奇数\right) \end{array}\right.$$

証明

この記事で，以下の関係を示した

$$I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}.$$

これから

$$I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2} =\frac{n-1}{n}\frac{n-2}{n-3}I_{n-4} =\cdots$$

等になる．

また，$I_1=1$ （この記事参照），$I_0=\frac{\pi}{2}$である．

よって

$n$が偶数のとき$I_n=$	$\displaystyle\frac{n-1}{n}\cdots\frac{1}{2}I_0=\frac{n-1}{n}\cdots\frac{1}{2}\frac{\pi}{2}$
$n$が奇数のとき$I_n=$	$\displaystyle\frac{n-1}{n}\cdots\frac{2}{3}I_1=\frac{n-1}{n}\cdots\frac{2}{3}$